مسألة: عجلة عيد الميلاد
شحال من دورة خاصك قبل ما يتعاود شي رقم؟ قل بزاف من اللي كيخمنو أغلب الناس.
مسألة عيد الميلاد فعجلة فيها 37 خانةالمعداتالخانةوحدة من الـ37 خانة المرقمة اللي فالدوّار. كاتتسمّى حتى: «الفتحة»، «الكأس».قرا كولشي ←: من بعد غير 8 دورات، الاحتمال باش شي رقم يكون طاح جوج مرات كيفوت النص. اللاعبين كيقراو التكرار بحال شي نمط؛ وهو غير السلوك المتوقع ديال عجلة نزيهة.
المسألة
دوّر عجلة أوروبية عادلة. شحال من دورة خاصك حتى الاحتمالرياضياتالاحتمالشحال محتمل تطرا شي نتيجة، من 0 حتى 1 ولا من 0% حتى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.قرا كولشي ← باش جوج دورات على الأقل يعطيو نفس الرقم يفوت النص؟ أغلب اللاعبين كيخمنو شي حاجة بحال 18 ولا 19، النص ديال 37. والجواب هو 8.
الحل
حسب الاحتمال باش ما يكون حتى تكرار ونقصو من الواحد. من بعد k دورة، p(كلهم مختالفين) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). فـk = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44، يعني p(شي تكرار) ≈ 0.56. فـk = 14 كيوصل 0.93؛ وفـk = 20 كيوصل 0.996. الإحساس كيغلط حيت عدد الأزواج ديال الدورات كيكبر بحال k²، وأي زوج يقدر يتطابق.
علاش هادشي مهم فالطاولة
لوحة النتائج اللي فيها آخر 20 رقم تقريبا ديما غادي تبين على الأقل تكرار واحد، وبزاف ديال المرات جوج ولا تلاتة. اللاعبين كيشوفو «17 طاح جوج مرات فعشرة ديال الدورات» وكيقولو 17 سخون؛ أما الحساب ديال عيد الميلاد فكيقول بلي التكرار فعشرة ديال الدورات كيوقع فـ74% من المرات، والرقم اللي تعاود عشوائي. النمط حقيقي؛ أما المعنى لا.
المسألة اللي من بعد
شحال من دورة خاصك حتى رقم معين، نقولو 17، يطيح جوج مرات؟ هادا سؤال آخر والجواب ديالو كبير بزاف: الانتظار المتوقع هو 74 دورة، والاحتمال باش 17 يطيح جوج مرات فـ20 دورة تقريبا 10%. الفرق بين «شي رقم كيتعاود» (8 دورات) و«هاد الرقم كيتعاود» (74 دورة) هو الفرق كامل بين نمط كاتلاحظو من بعد وتوقع كاتديرو من قبل.
جربها
دوّر اللعبة التجريبية عشرة ديال الدورات وشوف السجل. غالبا غادي يكون شي تكرار. عاودها. الرقم اللي تعاود غادي يكون مختالف. دير هادشي عشرة ديال المرات وتكون شفتي مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادشحال خاص من واحد باش يولّي محتمل أن جوج يتشاركو نفس النهار ديال الزيادة، ولا شحال خاص من دورة باش يولّي محتمل أن رقم يتعاود. فعجلة ديال 37 خانة، 8 ديال الدورات كافيين باش الاحتمال يفوت النص.قرا كولشي ←؛ ديرو ألف مرة (المحاكيات يقدرو) وتكون قستيها.
الصيغة
الأسئلة
بالضبط، غير بـ37 خانة فبلاصت 365 يوم. 23 واحد كيعطيو 50% فأعياد الميلاد؛ و8 دورات كيعطيو 56% فالعجلة.
50% من بعد تقريبا 19 دورة. حتى هادي حاجة عادية.
لا. آلاف الدورات من عجلة وحدة يقدرو يدلو عليه؛ أما التكرار عمرو ما كيدل عليه.
نتسلاو بالرياضيات
جرّب تحلّهم بوحدك اللول. كل حل مطوي؛ حلّو ملي تكون واجد.
لوحة النتائج اللي حدا عجلة أمريكية كاتبين آخر 16 دورة. شحال الاحتمال باش حتى رقم ما يبان فيها جوج مرات؟
وري الحل
الجواب تقريبًا 2.5%: تقريبًا 39 لوحة من 40 كيبان فيهم على الأقل تكرار واحد.
مشي دورة بدورة. الدورة اللولة تقدر تكون أي حاجة. التانية خاصها ما تجيش عليها: 37 فرصة من 38. التالتة خاصها ما تجيش على بجوج: 36 من 38. والسطاشية خاصها ما تجيش على خمسطاش رقم: 23 من 38.
ضرب: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
اللوحة بلا تكرار هي النادرة. واللوحة اللي فيها تكرار ما كاتقول والو على العجلة.
فعشرة ديال الدورات فعجلة أوروبية، شحال الاحتمال باش يطلع 17 خمسة ديال المرات بالضبط؟ وباش شي رقم، أي رقم، يطلع خمسة ديال المرات ولا كتر؟ وباش شي رقم يطلع على الأقل تلاتة ديال المرات فربعة ديال الدورات؟
وري الحل
الجواب 17 خمسة ديال المرات بالضبط: 1 من 315,576. شي رقم خمسة ديال المرات ولا كتر: تقريبًا 1 من 8,333. شي رقم تلاتة ديال المرات ولا كتر فربعة ديال الدورات: 1 من 349.
17 خمسة ديال المرات: ختار شمن خمسة من العشرة ديال الدورات، 252 طريقة، كل وحدة باحتمال (1/37)⁵ × (36/37)⁵. مجموعين، 1 من 315,576.
شي رقم: كل واحد من 37 رقم عندو احتمال ديال 1 من 308,325 باش يصيب خمسة ديال المرات ولا كتر، وهادشي كيعطي 37 من 308,325، يعني 1 من 8,333. الحالة النادرة ديال جوج أرقام كل واحد خمسة ديال الإصابات كاتتحسب جوج مرات، ولكن إلا حيدتيها ما كيتبدل والو بهاد الدقة.
تلاتة ديال المرات فربعة ديال الدورات: لرقم واحد، 4 × 36 + 1 = 145 من 37⁴ نتيجة ممكنة؛ لأي واحد من 37 رقم، 145/37³ = 1 من 349.
فعجلة بجوج أصفارالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما كيغطيها حتى رهان دفع متساوي، دزينة ولا عمود؛ ومنها جات ميزة الكازينو. كيتسمّى حتى: الصفر الواحد، 0.قرا كولشي ←، الأرقام المقابلة هوما 1 من 359,275، 1 من 9,243 و1 من 368. الفرق بين «17» و«شي رقم» هو مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادشحال خاص من واحد باش يولّي محتمل أن جوج يتشاركو نفس النهار ديال الزيادة، ولا شحال خاص من دورة باش يولّي محتمل أن رقم يتعاود. فعجلة ديال 37 خانة، 8 ديال الدورات كافيين باش الاحتمال يفوت النص.قرا كولشي ← مرة أخرى: كاينين 37 طريقة باش تتفاجأ.
استراحة ديال الضحك
شي حاجة كاتتعاود بكري. وديك الحاجة عشوائية.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”، أسئلة عن الروليت.