خطر الإفلاس
الاحتمال باش تخسر رأس مال اللعب كامل قبل ما توصل للهدف.
فرهانات الدفع المتساوي، خطر الإفلاس كيمشي بالصيغة ديال إفلاس المقامر. برأس مال ديال $500، ورهانات ديال $10، وهدف ديال $600، كاتوصل للهدف تقريبا ف57% ديال المرات وكاتفلس فالباقي.
شنو هو السؤال
عندك a ديال الوحداتالمالالوحدةالمبلغ الأساسي ديال الرهان اللي خدام بيه شي نظام ولا شي لاعب. التدرّجات كاتتوصف بالوحدات باش تصلاح فأي طاولة.قرا كولشي ← من رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ كامل اللي حاطو على جنب للعب. وإدارة رأس المال هي أنك تقرر شحال منو تخاطر بيه فكل رهان وفكل جلسة.قرا كولشي ← وبغيتي توصل لـa + b وحدة، وانتا كاتراهن بوحدة فكل مرة على رهان الدفع المتساويرهانرهان الدفع المتساويلحمر/لكحل، فردي/زوجي، عالي/منخفض. 18 رقم، كيخلّص 1:1.قرا كولشي ← والاحتمالرياضياتالاحتمالشحال محتمل تطرا شي نتيجة، من 0 حتى 1 ولا من 0% حتى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.قرا كولشي ← ديال الربح p = 18/37 والاحتمال ديال الخسارة q = 19/37. شنو هو الاحتمال باش توصل للهدف قبل ما توصل للصفر؟ الجواب لقاوه باسكال وفيرما وهويغنز فخمسينيات القرن الـ17، وهو من أقدم النتائج فعلم الاحتمالات.
صيغة إفلاس المقامر
P(توصل للهدف) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). وخطر الإفلاسرياضياتخطر الإفلاسالاحتمال أنك تخسر رأس مال اللعب كامل قبل ما توصل لهدف ولا لعدد ديال الدورات.قرا كولشي ← هو واحد ناقص هادشي. مع q/p = 19/18 ≈ 1.0556، النسبة كاتكبر بشكل أُسّي مع عدد الوحدات، وداكشي علاش الصيغة كاتعاقب الوحدات الصغيرة بزاف: كل ما كان خاص رهانات كثر باش توصل للهدف، كل ما تخلّصات الضريبة ديال 2.70% مرات كثر فالطريق.
كيفاش تقراها
الوحدات الصغار كيضرّو. إلا بغيتي تضاعف $500 برهانات ديال $10، كاتنجح غير ف6% ديال المرات؛ وبرهان واحد ديال $500 كاتنجح ف48.6%. اللعب الجريء، يعني رهانات قلال وكبار، كيطلّع لأقصى حد الاحتمال باش توصل للهدف فلعبة القيمة المتوقعة ديالها سالبة، حيت كينقّص لأدنى حد عدد المرات اللي كاتطبق فيها الميزة. ولكن حتى هو كيطلّع لأقصى حد التباينرياضياتالتباينمقياس ديال شحال النتائج كاتفرّق على القيمة المتوقعة. طالع فرهان الرقم الواحد، وهابط فرهانات الدفع المتساوي.قرا كولشي ← ديال داكشي اللي غادي يوقع ليك، وكيسالي العشية بالزربة. المبرهنة كيسميوها «اللعب الجريء هو الأحسن»، وبرهنوها دوبينز وسافيدج فـ1965.
منين بدات المسألة
السؤال أقدم من الروليت. فـ1656 عطا باسكال لفيرما واحد اللغز: جوج لاعبين كيرميو ثلاثة ديال الزهرات، وكل واحد كيبدا بـ12 ديال القطع ديال العد؛ رمية مجموعها 11 كاتحرك قطعة لجهة، ورمية مجموعها 14 كاتحركها للجهة الأخرى. بجوج حلّوها، وهويغنز، اللي سمع بيها من برية من عالم الرياضيات بيير دو كاركافي (Pierre de Carcavi)، نشرها فـ1657 بحال المسألة الخامسة فأول كتاب على الاحتمالات، مع الجواب وبلا برهان. الحداش كاتجي بـ27 طريقة والربعطاش غير بـ15، يعني كل قطعة كاتمشي للجهة ديال اللاعب الأول 9 مرات من 14، والصيغة اللي فوق، مع 12 قطعة لكل واحد، كاتخلي الاحتمال باش يربح كلشي تقريبا 1,157 مرة كثر من الاحتمال باش يخسر كلشي. ميزة ديال 2.70% صغيرة بزاف، ولكن نفس الصيغة كاتبيّن شنو كاتدير على طول بزاف ديال الرهانات.
رهان جريء بالصح
فأبريل 2004، آشلي ريفيل (Ashley Revell)، شاب إنجليزي، باع تقريبا كلشي اللي عندو، حتى الحوايج ديالو، وهز $135,300 لكازينو Plaza فلاس فيغاس. من بعد شي رهانات صغار، حط المبلغ كامل على لحمررهانلحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمرين الـ18. بالفرنسية: rouge.قرا كولشي ←، مرة وحدة. الكورةالمعداتالكورةالكورة الصغيرة اللي كاتتلوح فالمسار عكس الدوّار. الكورات الجديدة ديال الإيفورين ولا التفلون، من 18 حتى 21 مم.قرا كولشي ← طاحت فـ7 لحمر وخرج بـ$270,600. على عجلة بـصفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما كيغطيها حتى رهان دفع متساوي، دزينة ولا عمود؛ ومنها جات ميزة الكازينو. كيتسمّى حتى: الصفر الواحد، 0.قرا كولشي ← مزدوج، داك الدورة الوحدة كان عندها احتمال 47.37% وكلّفاتو فالمعدل $7,121، يعني الميزة ديال 5.26% على رهان واحد. لو فرّق نفس الهدف على رهانات ديال $10، كون تقريبا ما كاين أمل. اللعب الجريء ما كيرجعش الرهان مزيان؛ غير كيخليه قصير على قد ما يمكن.
خطر الإفلاس بلا هدف
إلا كنتي غير كاتلعب حتى تفلس ولا كاتحبس من بعد N دورة، السؤال كيولي «شنو هو الاحتمال باش رأس المال ديالي يوصل للصفر فـN دورة؟». ما كايناش صيغة مسدودة لأي N، ولكن المحاكيات فهاد الموقع كيحسبوه: رأس مال ديال $500 برهانات ديال $10 على لحمر تقريبا عمرو ما كيفلس ف100 دورة (قل من 1%)، كيفلس تقريبا ف9% ديال المرات ف500 دورة، وتقريبا ف95% ف5,000. وبلا قاعدة باش تحبس، الاحتمال كيمشي لـ100%، وهادي هي الصورة ديال ميزة الكازينورياضياتميزة الكازينوالجزء من كل رهان اللي كيخلّيه الكازينو عندو فالمعدل: 2.70% فالروليت الأوروبي.قرا كولشي ← على المدى الطويل.
- p10 −$500
- p25 −$500
- الوسيط −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
شحال كيدوم، وشحال تقدر تزيد
جوج نتائج كلاسيكية أخرى كيجاوبو على أسئلة كيسولوها اللاعبين بالصح. بلا هدف، رهانات الدفع المتساوي الثابتة كاتدوم فالمعدل 37 دورة على كل وحدة من رأس مال اللعب فالعجلة الأوروبية و19 فالأمريكية، حيت كل دورة كاتاخد 1/37 من الوحدة فالمعدل (1/19 فالعجلة الأمريكية): 100 وحدة كاتدوم 3,700 دورة فالمعدل، واخا النص ديال هاد الجلسات كيسالي قبل 3,134 (شوف مدة الجلسة والتكلفة ديالها). وكيفما كان رأس المال كبير، الاحتمال فالعجلة الأوروبية باش تكون شي نهار زايد بـk وحدة هو (18/19)ᵏ. يعني 95% لوحدة و58% لعشرة، ولكن حتى رأس مال، كيفما كان كبير، ما كيعطيك فرصة نص نص باش تكون شي نهار زايد بـ13 وحدة؛ وفالعجلة الأمريكية الاحتمال هو (9/10)ᵏ وكيطيح تحت النص فـ7 وحدات.
الطول ديال الجلسة وشحال كاتكلفالروليت الأمريكي: العجلة والقواعد
رأس المال اللي خاصك باش يكون عندك نص نص
قلب السؤال: شحال خاصك تجيب معاك باش يكون عندك على الأقل نص نص باش تربح شي مبلغ قبل ما تخسر كلشي؟ لربح صغير، ماشي بزاف. ولربح كبير، رأس المال اللي خاصك كيطلع بالزربة، ومن بعد شي حد حتى رأس مال ما كيكفي، حيت حتى رأس مال اللي ما كيساليش كيعطي قل من نص نص باش تكون شي نهار زايد بداك القد. تايلور (2021) كيقولها بطريقة أخرى: فالعجلة الأمريكية، باش يكون عندك نص نص توصل لـ100 وحدة خاصك تبدا بـ94، يعني كاتخاطر بـ94 باش تربح 6. وفالعجلة الأوروبية غادي تحتاج 88.
الدرس فالتطبيق
قرر شنو باغي دير. إلا كان الهدف ربح معين، راهن كبير وقليل. إلا كان الهدف عشية طويلة، راهن صغير وقبل بلي الميزة غادي تاخد 2.70% ديالها من إجمالي المراهناتالمالالمجموع ديال الرهاناتالمبلغ الكامل اللي تراهن بيه فجلسة ولا فمدة، مع الربحات اللي عاودتي راهنتي بيهم. كيتسمّى حتى: handle، action.قرا كولشي ← كبير. وإلا كان الهدف بجوج، خاص شي حاجة تطيح، وعادة كيكون هو الهدف.
الصيغة
الأسئلة
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج كيضاعف الرهان من بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية باش تعرف شنو كيدير وشنو ما كيديرش.قرا كولشي ← كينقّصو فالجلسات القصيرة وكيطلّعو بزاف فالطويلة. والرهان الثابتاستراتيجيةالرهان الثابتتراهن بنفس المبلغ فكل دورة. هو المرجع اللي كيتقارن بيه كل تدرّج.قرا كولشي ← بوحدة كبيرة هو الطريقة النقية باش تنقّصو.
الصيغة اللي فوق ديال الدفع المتساوي. فالرهانات اللي فيها تباين كبير، الإفلاس محتمل كثر بمبالغ رهان صغار، والهدف كيتوصل ليه بطريقة متقطعة كثر؛ خدم بالحاسبة.
كل خطوة للهدف محتملة شوية قل من كل خطوة للإفلاس؛ والنسبة كاتتراكم على عدد الخطوات.
نتسلاو بالرياضيات
جرّب تحلّهم بوحدك اللول. كل حل مطوي؛ حلّو ملي تكون واجد.
عندك $100 وبغيتي توصل لـ$1,000، وكتراهن غير على لحمررهانلحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمرين الـ18. بالفرنسية: rouge.قرا كولشي ←. الخطة اللولة: راهن بـ$1 فكل مرة. الخطة التانية: راهن بكلشي اللي عندك حتى تفوت $500، ومن بعد غير داكشي اللي يكفي باش توصل لـ$1,000. أشمن خطة حسن، وبشحال؟
وري الحل
الجواب الخطة التانية، وبالبعيد. كتوصل لـ$1,000 تقريبا 9.0% من المرات، قريب من الـ10% العادلة. الخطة اللولة كتنجح تقريبا 7 مرات ف10²².
فـلعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة حتى طرف فيها ما عندو ميزة: القيمة المتوقعة ديال كل رهان صفر.قرا كولشي ← كنتي غادي توصل لـ$1,000 من $100 مرة من كل عشرة كيفما درتي، حيت القيمة المتوسطة ديال الفلوس ديالك كتبقى $100.
الميزة كتاخد 2.70% من كل رهان، إذن كل ما قلّ المجموع اللي كتراهن بيه، كل ما بقيتي قريب من مرة من كل عشرة. الخطة التانية كتحسم الأمر فشي رهانات قلال: $100 كتولّي $200، $400، $800، ومن بعد $200 كافية. كتنجح تقريبا 9.0% من المرات. الخطة اللولة كتاخد آلاف ديال الرهانات قبل ما يسالي المشوار، والميزة، اللي صغيرة فكل رهان، كتتجمع حتى كيولّي الإفلاس تقريبا أكيد.
هادي هي النتيجة ديال دوبنز وسافيج فأبسط شكل ديالها (إبستين، 2013): فلعبة مايلة للكازينو، راهن بقد ما محتاج، وبأقل عدد ديال المرات اللي تقدر.
عندك $500 وبغيتي $1,000، وغادي توقف غير توصل ليها. كتختار نوع واحد ديال الرهان وكتعاودو حتى يربح مرة وحدة ولا يساليو الفلوس. أشمن نوع كيعطي أحسن احتمال؟
وري الحل
الجواب رهان واحد ديال $500 على لحمر: 48.6%. كل خطة كتفرق الفلوس على رهانات صغار كتعطي نتيجة خايبة كثر.
اختار كل مبلغ رهان بحيث ربح واحد يكفي: $30 على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، كيخلّص 35:1.قرا كولشي ← كيربح $1,050، $60 على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينجوج أرقام حدا بعضياتهم، كيخلّص 17:1.قرا كولشي ← كيربح $1,020، وهكذا. من بعد حسب الاحتمال باش رهان واحد على الأقل يربح قبل ما يساليو الفلوس. ستاش ديال الرهانات على الرقم الواحد بـ$30 كيخسرو كاملين باحتمال (36/37)¹⁶ = 64.5%، إذن كيوصلو لـ$1,000 ف35.5% من المرات.
الجدول كيبين كل رهان. لحمر هو الأحسن حيت كيوصل فرهان واحد، إذن الميزة كتتخلص مرة وحدة، على $500. رهان الصفينرهانرهان الصفينستة ديال الأرقام فجوج صفوف حدا بعضياتهم، كيخلّص 5:1. بالفرنسية: sixain.قرا كولشي ← كيجي التاني حيت ما محتاج غير تلاتة. رهان واحد على الدزينةرهانالدزينة1–12 ولا 13–24 ولا 25–36، كيخلّص 2:1.قرا كولشي ← هو الخايب كثر، احتمالو 12/37؛ وحتى إلا تلعب بـوحداتالمالالوحدةالمبلغ الأساسي ديال الرهان اللي خدام بيه شي نظام ولا شي لاعب. التدرّجات كاتتوصف بالوحدات باش تصلاح فأي طاولة.قرا كولشي ← ديال $250 حتى توصل لـ$1,000 ولا كثر، الدزينة ما كتوصل غير ف46.4% من المرات.
بولمان (2024) كيبني نفس الجدول للعجلة الأمريكية. فالسطر ديال الدزينة عندو غلطة: خاصو يكون 12/38 = 31.6%.
رهانمبلغ الرهان × عدد الرهاناتالاحتمال باش توصل لـ$1,000رهان الرقم الواحد$30 × 1635.5%رهان الرقمين$60 × 835.9%رهان الصف$90 × 534.5%رهان الزاوية$125 × 436.7%رهان الصفين$166, $166, $16841.2%الدزينة$500 × 132.4%لحمر$500 × 148.6%كتراهن بوحدة وحدة على لحمر، دورة من بعد دورة، بـرأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ كامل اللي حاطو على جنب للعب. وإدارة رأس المال هي أنك تقرر شحال منو تخاطر بيه فكل رهان وفكل جلسة.قرا كولشي ← عمرو ما كيسالي. من بعد الدورة اللولة كتكون رابح وحدة ولا خاسر وحدة. شنو هو الاحتمال باش ترجع شي نهار للتعادل بالضبط؟
وري الحل
الجواب 36 من 37، يعني 97.3%. فالعجلة الأمريكية 36 من 38، يعني 94.7%.
إلا ربحات الدورة اللولة (18 مرة من 37)، كتكون رابح وحدة، والميزة كتجر كل جلسة ما كتساليش للتحت، إذن عاجلا ولا آجلا غادي تدوز من التعادل: هادشي أكيد. وإلا خسرات (19 مرة من 37)، خاصك تطلع وحدة، والاحتمال باش تكون شي نهار متقدم بوحدة هو 18/19 (شوف الجدول اللي لفوق).
مجموعين: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
بصفة عامة الاحتمال هو 1 ناقص الفرق بين الاحتمال ديال الربح والاحتمال ديال الخسارة فالدورة: 1 − 1/37 فالعجلة الأوروبية، و1 − 2/38 فالأمريكية. فلعبة بلا صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما كيغطيها حتى رهان دفع متساوي، دزينة ولا عمود؛ ومنها جات ميزة الكازينو. كيتسمّى حتى: الصفر الواحد، 0.قرا كولشي ← الفرق هو والو والاحتمال هو 1: الحصيلة ديما كترجع للتعادل. إبستين (2013) كيعطي القاعدة العامة.
اللغز ديال باسكال ف1656: جوج لاعبين كيلوحو تلاتة ديال النرد، وكل واحد كيبدا بـ12 جيطون ديال الحساب. كل 11 كتنقل جيطون للاعب اللول، كل 14 كتنقل واحد للتاني؛ اللوحات الأخرى ما كتحسبش. شحال هو الاحتمال باش اللاعب اللول يربح الـ24 كاملين؟ وإلا بلاصة هادشي راهنتي بـ1 وحدة على لحمر فكل دورة ضد صاحبك اللي كيلعب دور البنك، 12 وحدة لكل واحد، شحال هو الاحتمال باش تربح الـ24 كاملين؟
وري الحل
الجواب اللاعب اللول كيربح تقريبا 1,157 مرة من 1,158. ونتا، على لحمر، ما كتربح الـ24 وحدة كاملين غير تقريبا 34% من المرات.
تلاتة ديال النرد كيعطيو 11 بـ27 طريقة و14 بـ15 طريقة، إذن كل جيطون كيتحرك كيمشي للاعب اللول 27 مرة من 42، يعني 9 مرات من 14. وكل جهة كتبدا بـ12، الاحتمال باش تاخد كلشي هو 1/(1 + r¹²)، فين r هي النسبة بين الاحتمال ديال الجهة الأخرى والاحتمال ديالك.
للاعب اللول r = 5/9، و(5/9)¹² ≈ 0.00086، إذن الاحتمال تقريبا 0.99914: يعني نسبة 9¹² لـ5¹²، ولا 282,429,536,481 لـ244,140,625، تقريبا 1,157 مقابل 1. هويغنز طبع هاد الأرقام بالضبط ف1657.
على لحمر، r = 19/18 بسبب الصفر، و(19/18)¹² ≈ 1.913: الاحتمال ديالك هو 1/2.913 ≈ 34.3%. البيسة كانت غادي تعطي 50%. الميزة ديال 2.70% فكل رهان كتتجمع، على الرهانات الكثيرة اللي خاصين، حتى كتولّي فرق ديال 16 نقطة.
استراحة ديال الضحك
اللعب الجريء هو الأحسن. وحتى هو كيسالي بالزربة.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”