مسألة: حدّ الطاولة
مارتينغال بـ$10 فطاولة الحدّ ديالها $500. شحال من مرة كيتكسر، شحال كيخسر ملي كيتكسر، وواش طلوع الحدّ كينفع؟
ستة ديال الخسارات متتابعين كيكسروه: 1.8% فكل حلقة، وتقريبا 60% من الجلسات ديال 100 دورة. الكسرة كاتكلف $630. إلا طلعتي الحدّ لـ$5,000 الكسرة كاتولي نادرة كتر (0.25% فكل حلقة) وكبيرة كتر ($5,110). الخسارة المتوقعة على كل دولار مراهن بيه هي 2.70% مع أي حدّ.
المسألة
لاعب كيراهن بـ$10 على لحمررهانلحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمرين الـ18. بالفرنسية: rouge.قرا كولشي ← وكيضاعف من بعد كل خسارة، وكيرجع للبداية من بعد كل ربح. الحدّ الأقصى ديال الطاولة $500. (a) شحال من خسارة متتابعة كاتكسر التدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة كاتبدّل مبلغ الرهان على حساب النتائج اللي فاتو. التدرّجات السلبية كاتزيدو من بعد الخسارة، والإيجابية من بعد الربح.قرا كولشي ←؟ (b) شنو هو الاحتمالرياضياتالاحتمالشحال محتمل تطرا شي نتيجة، من 0 حتى 1 ولا من 0% حتى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.قرا كولشي ← فكل حلقة؟ (c) شحال كيتخسر ملي كيتكسر؟ (d) كيفاش حدّ ديال $5,000 كيبدل الأجوبة؟ (e) واش كاين شي حدّ اللي يخلي السيستيم رابح؟
حلول (a)–(c)
مبالغ الرهان: 10، 20، 40، 80، 160، 320. السابع غادي يكون 640 > 500، يعني ستة ديال الخسارات كيكسروه. (b) p(الخسارة) = 19/37 فلحمر؛ (19/37)⁶ = 0.0183، يعني تقريبا 1.8% فكل حلقة. الحلقة كاتدوم تقريبا جوج دورات فالمعدل، يعني جلسة ديال 100 دورة فيها تقريبا 50 حلقة، وp(على الأقل كسرة وحدة) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، يعني 63 وحدةالمالالوحدةالمبلغ الأساسي ديال الرهان اللي خدام بيه شي نظام ولا شي لاعب. التدرّجات كاتتوصف بالوحدات باش تصلاح فأي طاولة.قرا كولشي ← أساسية، قدام $10 اللي كانت الحلقة باغا تربح.
حل (d)
فـ$5,000: مبالغ الرهان حتى لـ2,560 مسموحة؛ والرهان العاشر، 5,120، كيترفض. تسعة ديال الخسارات كيكسروه: (19/37)⁹ ≈ 0.25% فكل حلقة، يعني تقريبا 11% من الجلسات ديال 100 دورة. الخسارة ملي كيتكسر: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. اللاعب شرا كارثة نادرة كتر بثمن كارثة كبيرة كتر. على بزاف ديال الجلسات، التكلفة المتوقعة ديال الكسرات هي p × الخسارة ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 فكل حلقة مع حدّ $500، و0.0025 × 5,110 = $12.8 مع $5,000؛ وهو، مع التقريب، نفس الرقم، وهو الخسارة المتوقعةرياضياتالخسارة المتوقعةالقيمة المتوقعة مضروبة فالمبلغ كامل اللي راهنتي بيه؛ يعني المعدل ديال شحال كاتخسر فجلسة ولا فمدة.قرا كولشي ← ديال الحلقة زايد $10 اللي كيربحو الحلقات الرابحة.
حل (e)
لا. الخسارة المتوقعة فكل حلقة = (المجموع المتوقع ديال مبلغ الرهان فالحلقة) / 37، مع أي حدّ، حيت كل رهان هو −1/37 منو. الحدّ غير كيقرر كيفاش الخسارة كاتتوزع بين بزاف ديال الأرباح الصغار وشوية ديال الخسارات الكبار. بلا حدّ ومع رأس مالالمالرأس مال اللعبالمبلغ كامل اللي حاطو على جنب للعب. وإدارة رأس المال هي أنك تقرر شحال منو تخاطر بيه فكل رهان وفكل جلسة.قرا كولشي ← ما عندو نهاية، التدرّج كان غادي «يخدم»، بمعنى أنه عمرو ما غادي يتكسر، ولكن كان غادي يراهن بمبلغ ما عندو حد بخسارة متوقعة ديال 2.70% من داك المبلغ اللي ما عندو حد. ماشي حدّ الطاولةالطاولةحدّ الطاولةالحد الأدنى والحد الأقصى المسموح بيهم فالرهان. والحد الأقصى هو اللي كيوقّف تدرّجات المضاعفة.قرا كولشي ← هو اللي كيمنع مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج كيضاعف الرهان من بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية باش تعرف شنو كيدير وشنو ما كيديرش.قرا كولشي ← باش يخدم. الحساب هو اللي كيمنعو.
جوج طاولات حقيقيين
المثال ديال ثورب هو طاولة بـ$1 والحدّ الأقصى ديالها $1,000، فين لاعب باغي يربح $30 باش يتعشى، دولار بدولار. مبالغ الرهان 1، 2، 4 … 512 كيسمحو بعشرة ديال الرهانات، يعني عشرة ديال الخسارات متتابعين كيكسرو التدرّج: مرة فـ785 حلقة فالعجلة الأوروبية (مرة فـ613 فالأمريكية)، بتكلفة ديال $1,023. التلاتين حلقة كاملين كينجحو فـ96.2% من المرات. أما الـ3.8% الباقيين فكيخسرو تقريبا $1,000، والمعدل ديال النتيجة ديال السهرة هو −$9.17، وهادا بالضبط 1/37 من $339 اللي كيراهنو بيهم التلاتين حلقة فالمعدل. وطاولة بـ$5 والحدّ الأقصى ديالها $2,000 ما فيها حتى فرق: مبالغ الرهان حتى لـ$1,280 كيسمحو بتسعة ديال الرهانات، والكسرة كاتجي مرة فـ403 حلقة فالعجلة الأوروبية (مرة فـ323 فالأمريكية) وكاتكلف $2,555.
لاعب لاباس عليه
عطي للتدرّج رأس مال كبير فبلاصت حدّ قصير: 1,000 وحدة، ورهان أساسي ديال وحدة وحدة، و1,000 دورة على لحمر، وكترجع لوحدة وحدة كل مرة المضاعفة الجاية كتكون كتر من اللي بقا. درنا محاكاة لمليون سهرة بحال هادي. فالعجلة الأوروبية 52% كيساليو رابحين، 21% كيخسرو كولشي، والمعدل ديال النتيجة −124 وحدة. وحتى فلعبة بلا صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما كيغطيها حتى رهان دفع متساوي، دزينة ولا عمود؛ ومنها جات ميزة الكازينو. كيتسمّى حتى: الصفر الواحد، 0.قرا كولشي ←، فين كل رهان عادل، غير تقريبا 60% اللي غادي يساليو رابحين. السهرة العادية ربح صغير؛ والمعدل كيخلصوه السهرات اللي كيساليو فالصفر.
شنو نتعلمو
الكازينوهات كيحطو الحدود باش يحددو التباينرياضياتالتباينمقياس ديال شحال النتائج كاتفرّق على القيمة المتوقعة. طالع فرهان الرقم الواحد، وهابط فرهانات الدفع المتساوي.قرا كولشي ← ديالهم هوما، ماشي باش يغلبو السيستيمات. الغلبة على مارتينغال غير نتيجة جانبية فرحانين بيها، والحساب كان غادي يغلبو على كل حال. اللاعب اللي كيظن بلي الحدّ هو المشكل، لقا فين كاين الحافة وحسابها هي الطلعة.
الصيغة
الأسئلة
كيخليك تصمد حتى لحدّ طالع كتر، فين الكسرة كاتكون نادرة كتر وكبيرة كتر. الخسارة المتوقعة على كل دولار ما كاتبدلش.
مبالغ الرهان 10، 30، 70، 150، 310: كتوصل لحدّ $500 من بعد خمسة ديال الخسارات، والكسرة كاتكلف $570. نفس 2.70%.
باش حتى لاعب ما يقدر يراهن بكتر من داكشي اللي يقدر الاحتياطي ديال الكازينو يخلصو بلا مشكل. إدارة ديال التباين.
نتسلاو بالرياضيات
جرّب تحلّهم بوحدك اللول. كل حل مطوي؛ حلّو ملي تكون واجد.
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج كيضاعف الرهان من بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية باش تعرف شنو كيدير وشنو ما كيديرش.قرا كولشي ← كيبدا بـ$100 على لحمررهانلحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمرين الـ18. بالفرنسية: rouge.قرا كولشي ← وكيسمح لراسو بـn رهان على الأكثر فكل حلقة: من بعد n خسارة ورا بعضياتهم كيحبس وكيعاود من الأول. كتب المعدل ديال النتيجة ديال الحلقة الوحدة بصيغة فيها n، وحسبو لـ5 و6 و7 رهانات فعجلة أوروبية.
وري الحل
الجواب المعدل هو 100 × (1 − (38/37)ⁿ)، يعني −$14.26 لـ5 رهانات، −$17.35 لـ6، −$20.52 لـ7. ملي كاتسمح برهانات كثر، المعدل ديال الحلقة كيولّي خايب كثر، ماشي حسن.
الحلقة كاتربح $100 إلا ما خسروش الـn رهانات كاملين، وهادشي كيوقع باحتمال qⁿ، فين q = 19/37. وملي كيخسرو كاملين، المجموع ديال مبالغ الرهان 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ كيوصل لـ100 × (2ⁿ − 1). إذن المعدل هو 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
هنا 2q = 38/37، يعني شوية كثر من 1، إذن (2q)ⁿ كيكبر مع n والمعدل كيطيح: n = 5 كاتعطي 1.1426 يعني −$14.26؛ وn = 6 كاتعطي 1.1735 يعني −$17.35؛ وn = 7 كاتعطي 1.2052 يعني −$20.52. السلّم الطويل كيخسر قليل، ف3.6% و1.8% و0.9% من الحلقات، ولكن كل خسارة كبيرة جوج مرات، وكيدوز فوق الطاولة فلوس كثر فكل حلقة، وعلى كل رهان 2.70%.
وفالعجلة الأمريكية 2q = 40/38 والأرقام هوما −$29.24، −$36.04، −$43.20 (تايلور، 2021). وفلعبة بلا صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما كيغطيها حتى رهان دفع متساوي، دزينة ولا عمود؛ ومنها جات ميزة الكازينو. كيتسمّى حتى: الصفر الواحد، 0.قرا كولشي ← كيكون 2q = 1، والمعدل ديال كل حلقة صفر بالضبط واخا يطوال السلّم قد ما طوال.
«مارتينغال الكبير» كيضاعف مبلغ الرهان من بعد الخسارة وكيزيد وحدةالمالالوحدةالمبلغ الأساسي ديال الرهان اللي خدام بيه شي نظام ولا شي لاعب. التدرّجات كاتتوصف بالوحدات باش تصلاح فأي طاولة.قرا كولشي ← وحدة، فكيكونو مبالغ الرهان 1، 3، 7، 15، 31 … شحال كاتكون رابح ملي كيجي الربح اللول فالرهان اللول ولا التاني ولا التالت ولا فالرهان رقم k؟ وبوحدة ديال $10 وحدّ أقصى ديال $500، شحال من مرة كاتهرس الحلقة، وشحال كاتكلّف الحلقة فالمعدل؟
وري الحل
الجواب الربح فالرهان رقم k كيخليك رابح k وحدات: +1، +2، +3 وهكا. وبوحدة ديال $10 وحدّ ديال $500 الحلقة كاتهرس من بعد خمسة ديال الخسارات، ف3.57% من الحلقات، بخسارة ديال −$570. وفالمعدل الحلقة كاتخسر $2.32 من $85.73 اللي تراهن بيهم: 2.70%.
مبلغ الرهان رقم k هو 2ᵏ − 1 وحدة: 1، 3، 7، 15، 31. والمجموع ديال مبالغ الـk − 1 رهانات اللولين هو 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. والربح فالرهان رقم k كيخلّص 2ᵏ − 1، إذن الحلقة كاتسالي رابحة (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k وحدة: وحدة زايدة على كل خسارة قبل الربح.
بوحدة ديال $10 مبالغ الرهان كيكونو $10 و$30 و$70 و$150 و$310؛ واللي من بعد، $630، كيفوت الحدّ الأقصى ديال $500. وخمسة ديال الخسارات ورا بعضياتهم، (19/37)⁵ = 3.57%، كايكلّفو 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
المعدل: الأرباح كاتجيب $10 × k باحتمال (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 لـk من 1 حتى لـ5، والهرسة كاتاخد $570 باحتمال 3.57%؛ والمجموع −$2.32. والمعدل ديال الفلوس اللي تراهن بيهم $85.73 فالحلقة، و2.32/85.73 = 2.70%. أما مارتينغال العادي فنفس الطاولة كيهرس من بعد ستة ديال الخسارات، ف1.83% من الحلقات، بخسارة ديال −$630، وكيخسر $1.74 من $64.20 اللي تراهن بيهم: 2.70% مرة أخرى.
لاعب كيخطط لمارتينغال على لحمر برهان لول ديال $1 فطاولة الحدّ ديالها $1,000، إذن كاينين عشرة ديال الرهانات ممكنين: $1 و$2 و$4 وهكا حتى لـ$512. شحال من مرة الحلقة كاتخسر العشرة ديال الرهانات كاملين، وشحال كيطوّل هادشي فالمعدل، وشحال من مرة كاتسالي سهرة ديال 200 رهان بهاد الطريقة؟
وري الحل
الجواب الحلقة كاتخسر العشرة ديال الرهانات كاملين مرة وحدة من كل 784 تقريبًا، وهادشي كيكلّف $1,023. يعني تقريبًا 1,600 رهان فالمعدل، وسهرة ديال 200 رهان كاتضرب فالحيط تقريبًا ف11% من الحالات. ومع ذلك الحلقة كاتخسر فالمعدل $0.31 من $11.31 اللي تراهن بيهم: 2.70%.
رهان لحمر كيخسر باحتمال 19/37، والصفر محسوب. وعشرة ديال الخسارات ورا بعضياتهم: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، يعني تقريبًا 1 من 784. ومبالغ الرهان 1 + 2 + 4 + … + 512 المجموع ديالهم $1,023.
الحلقة كاتاخد 2.05 رهان فالمعدل، إذن 784 حلقة كاتاخد تقريبًا 1,600 رهان. وإلا حسبتي دورة بدورة، سلسلة ديال عشرة ديال الخسارات كاتبان فشي بلاصة وسط 200 رهان ف11.3% من الحالات.
بين كارثة وكارثة اللاعب كيربح $1 فكل حلقة: تقريبًا $783 قبل الحلقة الخايبة، ومن بعد −$1,023، يعني تقريبًا −$240 على طول المدة كاملة. وفكل حلقة: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. والفلوس اللي تراهن بيهم فكل حلقة: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. والقسمة: −0.31/11.31 = −2.70%.
قارن هادشي مع رهان لول ديال $10 عند حدّ ديال $500، يعني ستة ديال الرهانات: الحيط كيجي مرة كل 55 حلقة، وسهرة ديال 200 رهان كاتضرب فيه ف84% من الحالات. الحدّ العالي كيخلي الهرسة قليلة كثر وكبيرة كثر، ماشي رخيصة كثر.
استراحة ديال الضحك
نادرة كتر وكبيرة كتر، مع كل حدّ. والضرب ديالهم ثابت.
المصادر
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.